Adición y sustracción de fracciones

Cuándo las fracciones tienen ya el mismo denominador, se suman o se restan los numeradores y se guarda el denominador. Cuando no tienen el mismo denominador, se toman los denominadores y se encuentra el m.c.m. Luego se multiplican las fracciones por sus números correspondientes para obtener el mismo denominador sin cambiar la proporción y se suman y se restan los numeradores guardando el denominador tal cual.

Para realizar la Adición y sustracción de fracciones hay que diferenciar dos casos:

Adición con el mismo denominador: 

La adición de fracciones con igual denominador (también llamadas fracciones homogéneas), se suman los numeradores y se deja el mismo denominador.

En este caso, como el denominador es igual, o sea 5, sumamos los dos numeradores 2 y 1. Por lo tanto, el numerador será 3 y el denominador lo dejamos igual, siendo 5.

Sustracción con el mismo denominador: 

Para la resta de fracciones con igual denominador, se restan los numeradores y se deja tal cual el denominador.

En este ejemplo, como el denominador es igual en las dos fracciones, o sea 5, restamos el primer numerador menos el segundo, 6 y 2. El numeradores será 4 y el denominador, como habíamos dicho se quedaba igual, siendo 5.

Para realizar la Adición y sustracción con distinto denominador:

¿Cómo sumar y restar fracciones con diferente denominador (también llamadas fracciones heterogéneas)? Se puede hacer por dos métodos, el método del mínimo común denominador para la suma o resta de dos o más fracciones y el método de la multiplicación en cruz para la suma o resta de dos fracciones. El método más utilizado es el del mínimo común denominador.

Adición de fracciones con distinto denominador:

Método del mínimo común múltiplo de los denominadores : 

Lo primero que debemos hacer para sumar fracciones con distinto denominador, es encontrar un denominador común. Para ello, debemos encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones que sumamos. Veámoslo en un ejemplo.

Como las fracciones tienen diferente denominador, necesitamos ponerlas todas en uno mismo. Para ello, hacemos el mínimo común denominador, es decir, el mínimo común múltiplo de los dos denominadores.

1) Primero factorizamos los dos denominadores: 4 y 3 en factores primos.

2) Con la factorización hecha, sacamos el mínimo común múltiplo (mcm) de 4 y 3. Recordamos que el mcm, una vez hecha la factorización, son los factores comunes y no comunes elevados al máximo exponente. En nuestro caso será:

3) El mínimo común múltiplo de los denominadores es 12. Los denominadores de las nuevas fracciones serán 12 y los numeradores serán el numerador original por 12 dividido entre el denominador original, es decir:

4) Ahora tenemos las dos fracciones con el mismo denominador. Podemos hacer la suma de éstas, poniendo en el numerador la suma de los numeradores (3+8=11) y dejando el denominador en 12.

Así conseguimos realizar la suma de fracciones con distinto denominador, que es un poco más complicado que sumar fracciones con igual denominador.

Método de la multiplicación en cruz:

El método de la multiplicación en cruz sirve para sumar dos fracciones. En este caso, si las fracciones que se suman tienen los mismos denominadores, se pueden sumar por el método normal de la suma de fracciones con el mismo denominador.

En el caso de que las fracciones tengan diferentes denominadores, es cuando podemos utilizar el método de la multiplicación en cruz.

1) Imaginemos que queremos sumar las siguientes fracciones:

2) Para calcular el numerador de la fracción resultado, multiplicamos las fracciones en cruz, es decir, el numerador de la primera por el denominador de la segunda y el denominador de la primera por el numerador de la segunda, y sumamos las dos multiplicaciones.

3) El denominador de la fracción resultado será el producto de los dos denominadores: 7 · 5 = 35.

4) Por lo tanto, el resultado de la suma de estas fracciones será 31/35.

Sustracción de fracciones con distinto denominador:

Método del mínimo común múltiplo de los denominadores : 

En el método del mínimo común múltiplo de los denominadores, o del mínimo común denominador, lo primero que haremos para restar fracciones con distinto denominador es encontrar el denominador común. Para encontrarlo, calcularemos el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones que deseamos restar. Vamos a verlo en un ejemplo:

Como las fracciones tienen diferente denominador, lo primero que debemos hacer es pasarlas al mismo. Para ello, hacemos el mínimo común denominador, es decir, el mínimo común múltiplo de los dos denominadores.   

1) Primero factorizamos los dos denominadores: 4 y 10 en factores primos.

2) Una vez está la factorización, obtenemos el mínimo común múltiplo (mcm) de 4 y 10. Recordamos que el mcm, una vez hecha la factorización, son los factores comunes y no comunes elevados al máximo exponente. Veamos que da en nuestro caso:

3) El mínimo común múltiplo de los denominadores es 20, por lo tanto, los denominadores de las dos nuevas fracciones serán 20. Los numeradores nuevos serán el numerador original por 20 dividido entre el denominador original, es decir:

 4) Ahora que tenemos las dos fracciones con el mismo denominador, se puede hacer la resta de éstas, poniendo en el numerador la resta de los numeradores nuevos (15-4=11) y dejando el denominador en 20. 

Al final logramos realizar la resta de fracciones con distinto denominador, que es un poco más complicado que restar fracciones con igual denominador.

Método de la multiplicación en cruz:

El método de la multiplicación en cruz se utiliza para restar dos sirve para sumar dos fracciones con distinto denominadores.

Este método puede resultar más fácil que el método mínimo común denominador, ya que te ahorras calcular el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores. Sin embargo, por el otro método obtendrás, en la mayoría de los casos, como resultado una fracción más simplificada.

1) Vamos a ver como funciona este método en el siguiente ejemplo:

2) El numerador de la fracción resultado, se multiplican las fracciones en cruz, el numerador de la primera por el denominador de la segunda se le resta el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.

3) El denominador de la fracción resultado será el producto de los dos denominadores: 5 · 7 = 35.

4) Es decir, el resultado de la resta de estas fracciones será 16/35.

Referencias

Requena, B. (s.f.). Suma y resta de fracciones. Universo Formulas. 

https://www.universoformulas.com/matematicas/aritmetica/suma-resta-fracciones/

Marta,. (16 de mayo de 2020). Suma y resta de fracciones. Superprof-Material Didáctico.

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/racionales/suma-y-resta-de-fracciones.html